Cómo resolver simultáneas Ecuaciones diferenciales

ecuaciones diferenciales simultáneas se resuelven usando una matriz de coeficientes para crear un problema de valores propios . Una vez calculados los valores propios , que se reintroducen en el sistema de ecuaciones para determinar la solución general . Se requiere un conocimiento firme de cálculo integral , porque primero debe " adivinar " la forma de la solución basada únicamente en la construcción de las ecuaciones del problema. Por ejemplo , usted debe ser capaz de ver la ecuación y ' ' + ay ' + by = 0 y saber que la solución toma la forma de y = e ^ ( lambda * t ) .Things que necesitará
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Escribir las ecuaciones en forma estándar y crear la matriz de coeficientes . La imagen muestra la matriz de coeficientes para el siguiente ejemplo
y1 . '= 2 * y1 - 4 *
y2 y2 ' = 1 * y1 - 3 * y2
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Restar la lambda valor propio multiplicado por la matriz identidad de la matriz de coeficientes .
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Calcular la ecuación de valores propios para el determinante de la matriz recién formada y establezca su valor a cero .
( 2 - lambda ) ( - 3 - lambda ) - ( -4 * 1 )
-6 + + lambda lambda ^ 2 + 4
lambda ^ 2 + lambda - 2 = 0
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Resolver la ecuación para determinar los valores propios
lambda ^ 2 + lambda - 2 = 0
( lambda - 1 ) ( lambda + 2 ) = 0
lambda1 = 1 .; LAMBDA2 = -2
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Utilice los valores propios y la matriz de valores propios para determinar los vectores propios
. ( 2 - lambda ) * x1 - 4 * x2 = 0
x1 = 4x2; vector propio es [ 4 , 1 ] para lambda = 1
4x1 = 4x2; vector propio es [ 1 , 1 ] para lambda = -2
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Escribir la solución general utilizando los valores y vectores propios . Para este ejemplo , la solución está en la forma de y = e ^ ( lambda * t ) y ya que esta es la solución general , constantes arbitrarias que son un resultado de la integración se introducen .
Y1 = 4 * c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
y2 = c1 * e ^ t + c2 * e ^ ( - 2t )
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Utilice las condiciones iniciales o de frontera para obtener valores para las constantes arbitrarias. Este ejemplo es un problema inicial condición. Las condiciones iniciales son y1 ( 0 ) = 3 e Y2 ( 0 ) = 0
y1 = 4 * C1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0 ) = 4 * c1 + c2 = 3
y2 = c1 * e ^ 0 + c2 * e ^ ( - 2 * 0 ) = c1 + c2 = 0
4 * c1 = 3 - c2 c1 =
-c2
4 * (- c2) = 3 - c2; c2 = -1
c1 = - ( - 1 ); c1 = 1
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Escribir la solución particular mediante la sustitución de los valores de las constantes de nuevo en la solución general :
y1 = 4e ^ t - e ^ ( - 2t )
y2 = e ^ t - e ^ ( - 2t )