Propiedades de un binomio Coeficiente

Un coeficiente binomial, escriben normalmente como dos números apilados uno encima del otro y rodeados de paréntesis , también se puede escribir como " NCK ". Es el número de formas de elegir "k" elementos de un conjunto de "n" elementos. Por ejemplo , el número de maneras de escoger cinco cartas de una baraja de 52 es 52C5 . Esto se lee como " 52 eligen 5 . " El coeficiente binomial es igual a n ! /( N - k ) ! K ! donde " ! " representa la función factorial . El factorial de un número entero positivo es el producto de ese número y todos los números enteros más pequeños , por ejemplo , 5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120; n y k deben ser números enteros no negativos . Coeficientes binomiales que son iguales a 1

NC0 = 1 donde n es cualquier entero positivo. Esto significa que hay una manera de elegir no hay objetos a partir de un conjunto de objetos de cualquier tamaño , por ejemplo , 5C0 = 5 ! /5 ! ( 5-5 ) ! = 120/120 = 1 .

NCN = 1 . Hay una manera de escoger todos los objetos en un conjunto de cualquier tamaño. Es decir, sólo hay una manera de elegir todos los elementos , lo que es elegir todos los artículos.

Ningún otro coeficiente binomial es igual a 1 , por ejemplo, 4C4 = 4 ! /( 4-4) 0 ! = 24/24 = 1 .
Puede sustituir ( nk ) para k

NCK = nC ( nk ), por ejemplo , 5C3 = 5 ! /3 ! (5-3 ) ! = 120 /6 * 2 = 10 . Aquí N = 5 y k = 3 . Sustituyendo NK para k da 5C2 , que es igual a 5 ! /( 5-3 ) ! 2 ! = 120/2 * 6 = 10 . Esto tiene sentido . Suponga que tiene 5 amigos y eliges 3 de invitar a cenar. Podrías haber elegido la misma facilidad que a 2 no han invitado a cenar .
Los coeficientes binomiales se encuentran en el triángulo de Pascal

Una manera de formar el triángulo de Pacal es comenzar con un 1 en la fila superior, dos 1s en la siguiente fila , y , para cada fila sucesiva , añadiendo el número inmediatamente superior y el número arriba y hacia la izquierda para obtener un nuevo número . Las primeras filas son (ver Recursos para el formato correcto del triángulo) :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

las filas del triángulo son los coeficientes binomiales. Por ejemplo , la última fila se muestra arriba da 4C0 = 1 , 4C1 = 4 , 4C2 = 6 , 4C3 = 4 y 4C4 = 1 . Triangle

de Pascal , el nombre de Blaise Pascal, un matemático francés , tiene muchas cosas interesantes propiedades. Una es que , si se suman los números de cada fila , se obtiene la secuencia de Fibonacci.
Conseguir 2 ^ k A partir de los coeficientes binomiales

NC0 + nC1 + NC2 + .... NCN = 2 ^ n , por ejemplo , 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 ^ 4 . Una manera de pensar en esto es imaginar que está " eligiendo " una serie de cabezas de una serie de lanzamientos de moneda , por lo que 4C0 significaría " sin cabeza en cuatro lanzamientos. " Hay dos maneras en que una moneda puede caer sobre cada lanzamiento , por lo que hay 2 ^ n maneras de que una moneda puede caer en n lanzamientos. Además, usted puede conseguir cualquier número de cabezas, de ninguna cabeza a todos los jefes , por lo que la suma de los coeficientes de dos términos es igual a 2 ^ n .