Cómo calcular combinaciones y Permutaciones

Suponga que tiene n tipo de artículos , y usted desea seleccionar una colección de r de ellas . Podríamos querer estos artículos en un orden particular. Nosotros llamamos a estas series de artículos permutaciones. Si el orden no importa , llamamos al conjunto de combinaciones colecciones . Para ambas combinaciones y permutaciones , se puede considerar el caso en el que usted elija algunos de los n tipos más de una vez , que se llama ' con la repetición " , o el caso en el que usted elija cada tipo de una sola vez , que se llama ' no repetición ». El objetivo es ser capaz de contar el número de combinaciones o permutaciones posibles en un determinado situation.Orderings y factoriales

La función factorial se utiliza a menudo en el cálculo de las combinaciones y permutaciones . N ! significa N × ( N - 1 ) × ... × 2 ​​× 1 . Por ejemplo , 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . El número de maneras de ordenar un conjunto de artículos es un factorial . Tome las tres letras a, by c . Has tienen tres opciones para la primera letra , dos para el segundo y sólo uno para el tercero. En otras palabras , un total de 3 × 2 × 1 = 6 ordenamientos . En general , hay n ! . formas de ordenar n elementos

permutaciones con repetición

Suponga que tiene tres habitaciones que se van a pintar, y cada uno se pintará uno de los cinco colores: rojo ( R ) , verde (G ) , azul ( B ) , amarillo (Y) o naranja ( o) . Usted puede elegir cada color tantas veces como quieras . Tienes cinco colores a elegir para la primera habitación, cinco para el segundo y cinco para el tercero. Esto da un total de 5 × 5 × 5 = 125 posibilidades. En general , el número de maneras de escoger un grupo de elementos r en un orden determinado de opciones repetibles n es n ^ r .

Permutaciones sin repetición

Ahora supongamos que cada habitación va a ser de un color diferente. Usted puede escoger entre cinco colores para el primer cuarto, cuatro para el segundo y sólo tres para el tercero . Esto le da a 5 × 4 × 3 = 60, que sólo pasa a ser 5 ! /2 ! . En general , el número de formas independientes de seleccionar elementos r en un orden determinado de opciones no repetibles n es n ! /( N- r) ! .

Combinaciones sin repetición

A continuación, se olvidan de que la habitación es que el color . Sólo tiene que elegir tres colores independientes para el esquema de color. El orden no importa aquí, así que (rojo , verde , azul) es lo mismo que ( rojo, azul, verde). Para cualquier selección de tres colores que hay 3 ! formas en que puede ordenarlos. Así se reduce el número de permutaciones de 3 ! para llegar al 5 ! /( 2 ! × 3 ! ) = 10 . En general , se puede elegir un grupo de elementos r en cualquier orden entre una selección de opciones no repetibles n n ! /[( n- r) ! × r ! ] maneras.

Combinaciones con repetición

Por último , es necesario crear un esquema de color en la que se puede utilizar cualquier color tantas veces como quieras. Un código de contabilidad inteligente ayuda a esta tarea contando. Use tres Xs para representar las habitaciones. Su lista de colores está representado por ' rgbyo ' . Mezclar las X en su lista de colores, y asociar cada X con el primer color a la izquierda de la misma . Por ejemplo, rgXXbyXo significa que la primera sala es de color verde , la segunda es de color verde y la tercera es de color amarillo . Una X debe tener al menos un color a la izquierda , por lo que hay cinco espacios disponibles para el primer X. Debido a que la lista incluye ahora una X , hay seis ranuras disponibles para el segundo X y siete ranuras disponibles para el tercer X. En total, hay 5 × 6 × 7 = 7 ! /4 ! formas de escribir el código . Sin embargo , el orden de las habitaciones es arbitraria , por lo que hay realmente sólo 7 ! /( 4 ! ! × 3 ) arreglos únicos . En general, usted puede elegir los artículos r en cualquier orden de opciones n repetibles en (n + r- 1 )! /[ ( N- 1 )! × r !] Maneras.