Cómo cambiar la variable de integración

Integración por sustitución es una técnica para la solución de problemas en el cálculo integral . Básicamente , se trata de cambiar la variable de integración - por lo general de x a u o v Si bien la integración por sustitución no es necesaria para los problemas más simples como la integración de x al cuadrado , por ejemplo , es la única buena manera de resolver los problemas más complejos. Así es como funciona. Instrucciones Matemáticas 1

Utilice la regla de la cadena para derivadas ( la derivada de f ( g ( x) ) = f '( g ( x)) * g ' (x ) , o un derivado de los tiempos fuera derivado del interior ) . Integración por sustitución es un poco como la regla de la cadena en sentido inverso.
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Identificar f '( g ( x)) y g' ( x) en la función que tienen que integrarse. En otras palabras, mirar a la función que necesita para integrar un poco diferente. Por ejemplo , si su función es la siguiente :

∫ ( 10 x ^ 4 ) /( 20 + 2 x ^ 5 ) dx

en cuenta que 10 x ^ 4 es la derivada de 20 + 2x ^ 5 .

En este tipo de relación , crear una nueva variable llamada u y establezca su valor en la parte cuya derivada aparece en la función en otro lugar. En este ejemplo , a continuación , u = 20 + 2x ^ 5

Tome la siguiente función , por ejemplo : .

∫ -2 E ^ -x dx

Di que u = -x , ya que si bien -2 no es la derivada de x , es estrecha . Multiplique la derivada de x por 2.
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Sustituir u y u ' , que es la derivada de u, en su ecuación en lugar de las funciones de x . En el ejemplo anterior , por ejemplo , cambiaríamos nuestra ecuación para tener este aspecto :

∫ u ' /u dx

¿Qué sucede si u ' es apagado por algún valor entero ? En ese caso , todavía sustituimos en u y u ' , pero corregimos la ecuación dividiendo o multiplicando por ese valor entero si es necesario. Veamos el ejemplo anterior :

∫ -2 E ^ -x dx

Sabemos que u = -x , por lo que u '= -1 . Eso significa que -2 = u '* 2 , así que cuando sustituimos terminamos con una ecuación que tiene este aspecto :

∫ 2 u '( e ^ u) dx
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Nota que u ' y DX juntos forman du y volver a escribir la ecuación en consecuencia. En los dos ejemplos anteriores , por ejemplo , el resultado se parece a esto :

∫ 2 e ^ u du

∫ 1 /u du
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Evaluar la integral utilizando las reglas básicas de la integración. Si no te acuerdas de todos ellos , mira el enlace en la sección Recursos más abajo; que contiene una tabla de integrales comunes. En los problemas de ejemplo , se llega a los siguientes resultados :

∫ 2 e ^ u du = 2 e ^ u

∫ 1 /u du = ln u
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Sustituir u del valor original en la ecuación , en lugar de u. En los ejemplos, que terminaría con el siguiente :

2 e ^ u = 2 e ^ -x

ln u = ln ( 20 + 2x ^ 5 )

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compruebe su respuesta tomando la derivada para asegurarse de que se parece a la ecuación original que tenía cuando comenzó el problema.