Cómo integrar Trig Poderes

El teorema fundamental del cálculo integral tuvo sus comienzos en el siglo III aC cuando Arquímedes desarrolló una forma de determinar las zonas . Se necesitarían otros 2.000 años antes de Newton y Leibniz publicó los primeros desarrollos sistemáticos de cálculo. Este gran espacio de tiempo se debió en gran parte a la complejidad de Arquímedes método original . Avances significativos sólo se logra cuando un método mucho más simple de integración entró en escena . Se produjo con el desarrollo de la derivada y el descubrimiento de la relación entre el derivado y la integral . La maestra de Sir Isaac Newton , matemático Inglés Isaac Barrow, fue el primero en reconocer la relación entre la derivada y la integral. El teorema fundamental del cálculo integral es la base para el mundo de la ingeniería. Ha hecho que muchos de los avances del mundo moderno posible. Instrucciones de Revisión de los Fundamentos Matemáticas 1

Estudie las definiciones de los seis Integrales trigonométricas comunes. Estar familiarizado con estos le ahorrará tiempo en la integración de las funciones trigonométricas . Si u es una función de x , entonces:

La integral de ( sen u · u ' dx ) = la integral de (sen u du ) =' cos u + C

integral (cos u · u ' dx ) = la integral de (cos u du ) = sen u + C

la integral de ( sec ^ 2 u · u' dx ) = la integral de ( sec ^ 2 u du ) = u bronceado + C

la integral de ( csc ^ 2 u · u ' dx ) = la integral de ( csc ^ 2 u du ) =' cuna u + C

la integral de (seg u TAN u · u ' dx ) = la integral de (seg u TAN u du ) = sec u + C

la integral de ( csc u cuna u · u ' dx ) = la integral de ( csc u cuna u du ) =' csc u + C

Dónde : sen = seno, cos = coseno, seg = secante , cosecante = csc , tan = tangente , cuna = cotangente
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Aprende las propiedades de la integral indefinida . Conociendo estas propiedades puede ayudar en la resolución de una integración de una integral trigonométrica , puede producirse una simple sustitución de una parte de un problema o la solución completa. Si u ( x) y V ( x ) son integrables , entonces:

La integral de x ^ n dx = [ x ​​^ ( n +1 ) /( n + 1 ) ] + C ( N no es igual a -1 )

el intergral de CV (x ) dx = c veces la integral de V ( x ) dx donde c es una constante

la integral de [ u (x ) + v (x )] dx = la integral de u ( x ) dx + la integral de v (x ) dx
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Estudiar el Identidades trigonométricas básicas para familiarizarse con estas definiciones. Reconociendo que es clave en la solución de las integrales trigonométricas. A continuación se enumeran los más comunes 12 . Una lista exhaustiva se puede encontrar en un libro de texto de cálculo. Vea la sección de Recursos de este artículo para uno de tales textos .

Tan x = sen x /cos x

cot x = cos x /sen x

seg x = 1 /cos x

csc x = 1 /sen x

sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1

tan ^ 2 x + 1 = sec ^ 2 x

1 + cot ^ 2x = csc ^ 2 x

sin ^ 2 x = 1/2 ( 1 - cos 2x)

sen 2x = 2 sen x cos x

cos ^ 2 x = (cos 2x + 1 ) /2 Foto

tan 2x = ( 2 tan x /1 - moreno ^ 2 x

cos ^ 2 x = 1/2 ( 1 + cos 2x )
Integración mediante el uso de fórmulas derivadas
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Una Consideremos la integral a evaluar. Este es el primer paso en la evaluación o la resolución de ninguna integración trigonométrica. Observe la forma y la función trigonométrica de la integral a evaluar. Este paso dará lugar al enfoque que se utilizará para la solución.
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Determine si la integral a evaluar es en la misma forma que cualquiera de las formas derivadas . para ello , comparar la integral dado que hay que resolver para las formas derivadas . Si es en la misma forma como cualquiera de las integrales derivados , simplemente sustituir . Por ejemplo , para encontrar la integral de sen x dx , mira la lista o recordar las definiciones, y se pregunta si esta integral ya ha sido derivada. En cuanto a la lista de definiciones revela que sen x dx se define . De la definición , escriba " la integral de sen x dx = - cos x + C "
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manipular la expresión dada , si es posible lograr una forma derivada , si no se da directamente . Por ejemplo, para calcular la integral de x cos x ^ 2 dx, de retirada de la lista de las definiciones de las integrales trigonométricas que la integral de cos uu ' dx es igual a la integral de cos u du , que es igual a sen u + C. En el ejemplo , u es igual a x ^ 2 y u ' es igual a 2x . Recuerde que u 'se define como la derivada de u. Para una explicación completa del teorema fundamental del cálculo y derivados , consulte el libro de cálculo señalado en la sección de Recursos de este artículo. La ecuación debe ser manipulado para deshacerse de la 2 en el 2x , ya que no aparece en la definición dada. Para ello , se multiplican ambos lados de la integral de 1/2. Hacer esto no cambia el valor de la expresión , pero logra la forma correcta .

Esta expresión se convierte en " la integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 veces la integral de ( 1/2) 2x cos x ^ 2 dx " o" la integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 veces la integral de x cos x ^ 2 dx . "
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Resuelve el resultado integral mediante el uso de la derivada formulario. El ejemplo produce " la integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 veces la integral de x cos x ^ 2 dx . " En la lista de las definiciones de las integrales trigonométricas , si u es una función de x , entonces:

la integral de cos uu ' dx = la integral de cos u du

la integral de cos u du = sen u + C.

Usando la forma derivada resolver la ecuación : Imágenes

la integral de x cos x ^ 2 dx = 1/2 sen x ^ 2 + C.

integrales de la forma : la integral de pecado ^ cos mu ^ Nuu ' dx
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evaluar el pecado integrante ^ 2 x cos ^ 3 x dx . Tenga en cuenta que es de la forma sin ^ mu cos ^ Nuu ' dx . Integrales de esta forma se definen como " la integral de sen ^ cos mu ^ nuu ' dx = la integral de sen ^ cos mu ^ nu du ".

Una Definir la "m " y "n" términos . En este ejemplo , el exponente en la posición m es 2 y el exponente en la posición n es 3 .
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Determinar si n es un entero positivo impar o si m es un número entero positivo impar o si m y n son ambos números enteros positivos pares . En este ejemplo, n = 3 y m = 2 . Por lo tanto n es un entero positivo impar. Si m eran un entero positivo impar , así , la expresión sería reescrito con (m - 1) como exponente en lugar de m . Por ejemplo, si m fuera 3 a continuación ( 3 - 1 ) o 2 sería el nuevo exponente de la expresión m y la identidad trigonométrica utilizada sería : sin ^ 2 u = 1 - cos ^ 2 u. Si m y n son ambos enteros positivos pares utilizan las identidades. " Sin ^ 2 x = ( 1 - cos 2x ) /2 y cos ^ 2 x = ( 1 + cos 2x ) /2 " para conseguir potencias impares de coseno
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Vuelva a escribir la expresión como " cos sin ^ mu ^ nu = cos sin ^ mu ^ ( n -1) u cos u. " Específicamente , escribir

" sin ^ 2 x cos ^ ( 3 - 1 ) x = sen ^ 2 x ^ 2 cos x cos x dx ".
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Utilice los cos identidad ^ 2 x = 1 - sen ^ 2 x para obtener la expresión en la forma correcta. Usando el ejemplo : Imágenes

la integral del pecado ^ 2 x cos ^ 3 x dx = la integral de sen ^ 2 x ^ 2 cos x cos x dx

la integral del pecado ^ 2 x cos ^ 2 x cos x dx = la integral de sen ^ 2 x ( 1 - sin ^ 2 x ) cos x dx

la integral de sen ^ 2 x ( 1 - sin ^ 2 x) cos x dx = la integral de (sen ^ 2 x - sen ^ 4 x) cos x dx

la integral de (sen ^ 2 x - sen ^ 4 x ) cos x dx = [( sin ^ 3 x) /3 ] - [( sin ^ 5 x) /5 ] + C.

trigonométricas Sustituciones
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Recordemos las sustituciones comunes:

Forma: (a ^ 2 -u ^ 2 ) ^ ( 1/2 ); Sustitución : u = a sen x; Identidad : cos ^ 2 x = 1 - sen ^ 2 x

Forma: (a ^ 2 + u ^ 2 ) ^ (1/2); Sustitución : u = a x de color canela; Identidad: sec ^ 2 x = 1 + tan ^ 2 x

Forma: ( u ^ 2 - a ^ 2 ) ^ (1/2); Sustitución : u = a sec x; Identidad : tan ^ 2 x = sec ^ 2 x - 1
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Evaluar la expresión dada . Por ejemplo , evaluar la integral de 0 a 3 de ( 9 - x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx . Esta expresión es de la forma (a ^ 2 - u ^ 2 ) ^ 1/2 por lo que el cambio va a ser u = a sen x y la identidad utilizada será cos ^ 2x = 1 - sen ^ 2 x . En este caso , a = 3 , porque 3 ^ 2 = 9 .
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Hacer la sustitución . Debido a que el intervalo va de cero a tres empezar por hacer la sustitución x = 3 sen @ en la ecuación original . Esto produce : dx = 3 cos @ d @ . Debido a que la integral va de 0 a 3 Considera cuando x = 0 , el pecado @ = 0 y @ = 0 cuando x = 3 , el pecado @ = 1 y @ = ( 3.14 ) /2 .
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Resolver el Integral. Por ejemplo , la integral de 0 a 3 de ( 9 - x ^ 2 ) ^ ( 1/2 ) dx

= la integral de 0 a ( 3,14 ) /2 de ( 9 - 9 sin ^ 2 @ ) ^ ( 1/2) 3 cos @ d @

= Integral de 0 a ( 3.14 /2 ) de 9 cos ^ 2 @ d @

= 9/2 veces la Integral de 0 a ( 3,14 ) /2 de ( 1 + cos 2 @ ) d @ .

= 9/2 ( @ + ( 1/2 ) sen 2 @ ) de 0 a ( 3,14 ) /2

= 9/2 [( 3,14 ) /2 + 1/2 sen @ ) - ( 0 + 1/2 sen 0 )]

= ( 9 ( 3.14 )) /4