¿Cómo demostrar el volumen de cono por Integración

En cálculo , por lo general el segundo semestre, se puede aprender acerca de cómo encontrar el volumen de sólidos de rotación por la integración. Encontrar el volumen de sólidos de la integración puede ser un momento muy satisfactorio en su educación de matemáticas , ya que este es el momento cuando finalmente descubrir dónde fórmulas para el volumen vienen. En el pasado , es posible que rote- memorizado que el volumen de un cono es pi * r ^ 2 * h , donde r es el radio de la base y h es la altura de un cono. Ahora que sabe cómo integrar funciones , usted puede probar que esto es cierto con el cálculo . Instrucciones Matemáticas 1

Dibuje la línea y = (r /h ) * x , en el plano xy , donde r y h son constantes arbitrarias que representan el radio y la altura del cono. Dibuje el resultado de tomar el segmento de línea desde x = 0 a x = h y giratoria que línea de 360 grados alrededor del eje x , que es un cono .
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Dibujar líneas verticales a través del cono de indican que el cono se corta en muchos discos . Anote la zona de una versión infinitamente fina de uno de estos discos , lo que sería un círculo . Usted debe obtener Area = pi * R ^ 2 , donde R es el radio de ese círculo o disco en particular.
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Escribe una integral que representa esta situación. Tienes que ir en una dirección x para acumular todos sus cortes verticales en forma de cono , por lo que escribir la integración respecto de x . La integración comienza en 0 y termina a las horas, a fin de poner estos como sus puntos finales. El área de cada rebanada es pi * R ^ 2 , por lo que puso esto como su función. Ponga todo esto junto y obtener : .

S ( 0 , h ) pi * R ^ 2 dx

donde S ( 0 , h ) representa el símbolo integral con extremos 0 y h
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Cambiar R en función de x para que pueda integrarse con respecto a x. Puesto que R es siempre el mismo que y, que es igual a (r /h) * x , sustituto (r /h) * x para R. Ahora debería tener :

S ( 0 , h ) pi * ( (r /h ) * x) ^ 2 dx
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Incorporar los S integrales ( 0 , h ) pi * ( (r /h ) * x) ^ 2 dx . Eleve al cuadrado de la función en el interior para obtener S ( 0 , h ) pi * (r ^ 2 /h ^ 2 ) * x ^ 2 dx . Usando la regla de la potencia , cambiar la x ^ 2 a (1/3) * x ^ 3 , a continuación, escribir todas las constantes en la parte delantera. Usted obtiene ( 1/3) * pi * (r ^ 2 /h ^ 2 ) * x ^ 3 evaluado entre 0 y h , que es ( 1/3) * pi * (r ^ 2 * h ^ 3 /h ^ 2 ) - . 0 Simplifica la expresión , y que tiene ( 1/3 ) * pi * r ^ 2 * h , que es la misma que la fórmula para el volumen de un cono
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