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Cómo encontrar el centro de masa de una parábola

Encontrar el centro de masa de una parábola es una forma corta de decir encontrar el centro de masa de una sección parabólica de un objeto con una densidad uniforme . Por conveniencia , esta sección parabólica se coloca generalmente en un plano xy de manera que su eje de simetría está en el eje y, y su vértice se encuentra en el origen . Debido a la simetría , usted ya sabe que la coordenada x será 0; es necesario encontrar la coordenada . Usted encontrará el centro de masa en la dirección y con los YCM fórmula = ( 1 /M) S y dm , donde YCM es la coordenada del centro de masa, M es la masa total del objeto y S representa el signo integral , y dm es la derivada con respecto a la masa . Usted debe saber cómo integrar a hacer estos problemas. Instrucciones Matemáticas 1

Escribir la función y = kx ^ 2 para describir la parábola. Encuentra K mediante el uso de la información sobre la altura y el radio de la sección parabólica . Vuelva a escribir la función con este nuevo valor sustituido en para k

Ejemplo: .

Encontrar el centro de masa de un corte taza uniforme en una sección parabólica . La altura de la recipiente es de 0,1 m y su radio es 0,1 m .

( 0.1 , 0.1 ) es un punto en el recipiente . Conecte 0,1 para x y 0,1 para y resolver para k.

0.1 = k ( 0.1 ) ^ 2 Foto

0.1 = k * 0.01

k = 10

y = 10x ^ 2
2

Cambiar y (x ) para x ( y) por la reordenación de la ecuación hasta que x es por sí mismo en el lado izquierdo . Esto se debe a que está integrando sobre y , en sentido vertical, por lo que necesita saber las dimensiones horizontales de cada rebanada en términos de x . Este es el mismo que dA , la derivada con respecto al área de

Ejemplo : .

Y = 10x ^ 2

0.1y = x ^ 2

x = + y - sqrt ( 0.1y )

Debido a que la ecuación se divide en dos partes idénticas , reescribir como :

x = 2 * sqrt ( 0.1y )

dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy
3

Configure la integral de la coordenada . Debido a que usted tomó rebanadas de área con una densidad uniforme , el DM puede reescribirse como D * dA , donde D es la densidad , y dA = 2 * sqrt ( 0.1y ) dy

Ejemplo: .

YCM = ( 1 /M) S y dm

YCM = ( 1 /M) 2D * S y * sqrt ( 0.1y ) dy

Los límites de integración son 0 y 0.1 ( la altura de la sección) .
4

Reescribe M , la masa , como una integral , utilizando la misma información que para la integral anterior, pero dejando de lado el dinero extra * y.

Ejemplo :

M = 2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

los límites de integración son 0 y 0.1 ( la altura de la sección)
. 5

Escribe una razón de las dos integrales que tener en cuenta el 1 /M. Resolver integrando

Ejemplo: .

YCM = 2D * S y * sqrt ( 0.1y ) dy /2D * S sqrt ( 0.1y ) dy

sqrt ( 0.1 ) es una constante y puede ser llevado fuera de la integral , por lo que se cancela , al igual que el 2 y el D.