¿Cómo resolver la ecuación de Pell

La ecuación de Pell es la ecuación x ² - Ny ² = 1 , donde " x " e "y" son números enteros positivos y " n" es un entero no nulo dado. Soluciones en el que cualquiera de los dos "x ", "y " o "N" son cero , se llaman soluciones triviales a la ecuación, y no son de mucha preocupación para los matemáticos . Las soluciones no triviales más pequeñas hasta las ecuaciones se llaman soluciones de fondo . Las soluciones más grandes se pueden determinar usando un par de fórmulas sencillas una vez que la solución fundamental ha sido found.Things que necesitará
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Calcular el raíz cuadrada de "N. " la relación de "x " a " y" en la solución fundamental será una aproximación a la raíz cuadrada de "N" , y los ratios para valores más grandes de "x " e "y" será cada vez más cerca de la raíz cuadrada real . Si "N " es un cuadrado perfecto, entonces la ecuación se puede resolver mediante la factorización de la ecuación en (x- mi ) ( x + mi ) = 1 , donde " m" es la raíz cuadrada de "N. " Solución para este rendimientos otra respuesta trivial , que no es de mucha preocupación . Si la ecuación original fuera x ² - 23y ² = 1 , se encontraría la raíz cuadrada de 23, que es de aproximadamente 4,79583
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Calcular la fracción continua equivalente a la raíz cuadrada , hasta que la expansión comienza a . repetir . Una fracción continua es una fracción compleja anidada precedido por la parte entera de la raíz cuadrada . La parte fraccionaria consiste en el número entero " 1 " dividido por otro número entero más uno dividido por otro número entero más uno dividido por otro número entero , etc , o A + 1 /( B + 1 /( C + 1 /( D ... ) ) ), donde " A", " B ", "C " y " D" son números enteros . La raíz cuadrada de 23 se aproxima por la fracción continua 4 + 1 /( 1 + 1 /( 3 + 1 /( 1 + 1 /( 8 + ... ) ) ) , después de lo cual las fracciones comienzan a repetir .

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Suelta la porción de la fracción que comienza a repetirse , y el último elemento del ciclo inicial. En el ejemplo anterior , 1/8 y todo después de que se cayó , dejando 4 + 1 /( 1 + 1 /( 3 + 1 /1) ) .
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simplifica la fracción . la relación resultante representa las soluciones de fondo para el valor de " x " sobre el valor de " y. " La fracción anterior se simplifica al 24/5, por lo que los valores de" x " e" y " para x ² - 23y ² = 1 son 24 y 5 , respectivamente

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