Los dos tipos de geometría no euclidiana

Desde hace más de 2.000 años, Euclides fue la última palabra sobre la geometría. Todo matemático desde el año 200 aC hasta el siglo 19 comenzó estudios con Euclides. En el siglo 19 , algunos matemático comenzó a buscar alternativas a Euclid - geometrías no euclidianas construidos para describir las leyes de la geometría en superficies curvas . Geometría euclidiana sólo describe los objetos en una superficie plana . Un siglo después de la invención de la geometría no euclidiana , Einstein utilizó la geometría no euclidiana para describir un universo relativista. Parallel Lines

La geometría de Euclides se basa en cinco postulados ( supuestos) . Los primeros cuatro postulados son simples , claros y lógicos . El quinto postulado siempre ha sido un problema. Es mucho más complicado de los cuatro primeros. Se puede decir de muchas maneras , pero básicamente dice que las líneas paralelas nunca se encuentran . Durante siglos , los matemáticos trataron de demostrar el quinto postulado de los cuatro primeros. En el siglo 19 algunos matemáticos comenzaron un nuevo enfoque . Miraron a lo que sucedería si los primeros cuatro postulados eran ciertos , pero el quinto era falso. Sus investigaciones llevaron a las geometrías no euclidianas . Las dos formas básicas de la geometría no euclidiana son la geometría elíptica - donde las líneas paralelas siempre cumplen - . Y la geometría hiperbólica , donde las líneas paralelas divergen
Elíptica Geometría

Elíptica la geometría es la geometría de las superficies con curvatura positiva . En superficies con curvatura positiva líneas paralelas siempre cumplen . Otra característica de espacios con curvatura positiva es que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre más que 180 grados. Un ejemplo importante de una geometría no es la superficie de la tierra. En una esfera , las líneas rectas se llaman "grandes círculos . " Son círculos de tamaño máximo que dividen la esfera en dos hemisferios . En la superficie de la Tierra , el ecuador es la única línea de latitud que es un gran círculo. Las otras líneas de latitud no son grandes círculos y lo que no "líneas" en la geometría no euclidiana . Todas las líneas de longitud son círculos máximos , por lo que son todas las "líneas " no euclidianas y todos ellos se reúnen en ambos polos.
Hiperbólica Geometría

geometría hiperbólica es la geometría de las superficies con curvatura negativa . La geometría euclidiana es la geometría del espacio sin curvatura en absoluto. En superficies con curvatura negativa líneas paralelas siempre divergir. Otra característica de espacios con curvatura negativa es que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor que 180 grados. No es tan fácil encontrar un ejemplo real de un espacio hiperboloide aunque ha demostrado ser auto consistente para ciertos modelos matemáticos abstractos como la tractricoid .