Cómo factorizar la suma o diferencia de dos cubos

Cuando los polinomios tienen un grado - el tamaño del mayor exponente - de dos o menos , son relativamente fáciles de factorizar . Cuando el grado es tres o más, la factorización se vuelve más difícil. Hay, sin embargo , un par de grados tres polinomios que son fáciles de factorizar , binomios - polinomios con dos términos - en el que ambos términos son cubos . Algunos ejemplos son X ^ 3 + Y ^ 3 , K ^ 3-125 y 8N ^ 3 - M ^ 6 . Instrucciones Matemáticas 1

Factor la diferencia de dos cubos con el patrón (a ^ 3 - b ^ 3 ) = (a - b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) . Por ejemplo, al factor K ^ 3-125 Sea A = K y b = 5 y aplicando el patrón , K ^ 3-125 = (K - 5 ) (K ^ 2 + -5k 25 ) . Otro ejemplo es el factoring 8N ^ 3 = M ^ 6 . Aquí , a = b = 2 N y M ^ 2 , y 3 = 8N ^ M ^ 6 = (2N - M ^ 2 ) ( 4N ^ -2NM 2 ^ 2 + M ^ 4 ) . Si el binomio no se puede poner en la forma (a ^ 3 - b ^ 3 ) , este patrón no se puede aplicar . En estos casos K ^ 3-125 = K ^ 3-5 ^ 3 y 8N ^ 3 = M ^ 6 = ( 2N ) ^ 3 - . ( M ^ 2 ) ^ 3
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Uso el patrón (a ^ 3 + b ^ 3 ) = (a + b ) (a ^ 2 - ab + b ^ 2 ) para factorizar la suma de dos cubos. Para un ejemplo de lo útil que puede ser la suma y la diferencia de los patrones de cubos , considere el problema ( X + Y) /( X ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 1/3 ) ) . Este problema buscando difícil se vuelve fácil si utiliza la suma de los cubos de patrón . Vamos a = X ^ ( 1/3 ) y b = Y ^ ( 1/3 ) . La solución es (X + Y) /(X ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 1/3 )) = (X ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 1/3 ) ) (X ^ ( 2 /3 ) - ( XY ) ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 2/3 ) ) /( X ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 1/3 )) = (X ^ ( 2/3 ) - ( XY ) ^ ( 1/3 ) + Y ^ ( 2.3 ) ) .
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Generalizar la suma o diferencia de dos cubos con el patrón (a ^ 3 signo b ^ 3 ) = ( un signo b ) ( a ^ 2 signo opuesto ab + b ^ 2 ) . Si sustituyes -b para b en cualquier patrón , se obtiene el otro patrón . (a ^ 3 + ( -b ) ^ 3 ) = (a + ( -b ) ) (a ^ 2 - a ( -b ) + ( -b ) ^ 2 ) = ( a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 ), pero (a ^ 3 + ( -b ) ^ 3 ) = (a ^ 3 - b ^ 3 ) para (a ^ 3 - b ^ 3 ) = ( a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) . También (a ^ 3 - (-b ) ^ 3 ) = (a - ( -b ) ) (a ^ 2 + a ( -b ) + ( -b ) ^ 2 ) = (a + b ) (a ^ 2 - ab + b ^ 2 ), pero (a ^ 3 - (-b ) ^ 3 ) = (a + b ^ 3 ^ 3 ) para (a ^ 3 + b ^ 3 ) = (a + b ) (a ^ 2 - . ab + b ^ 2 )