Cómo utilizar el Método de Fermat para encontrar el área bajo una curva

Cálculo nos permite resolver fácilmente algunos problemas que están lejos de ser fácil usando sólo la geometría y el álgebra . Los ejemplos incluyen la búsqueda de mínimos y máximos de una función , la búsqueda de la tangente de una curva en un punto y encontrar el área bajo una curva . Antes de cálculo, algunos de los mejores matemáticos del mundo , incluyendo Fermat , Wallis y Descartes , desarrolló técnicas para resolver estos problemas . La técnica de Fermat para encontrar el área bajo una curva es un ejemplo de cómo resolver estos problemas llevado al desarrollo del cálculo. Instrucciones Matemáticas 1

Dibuja una serie de rectángulos bajo la curva , que cubre el área que desea encontrar. Los rectángulos establecidos en el eje X y la altura de cada rectángulo es determinado por la curva que está utilizando. En un punto Xp en el eje X , la altura del rectángulo es el valor que se obtiene si se conecta Xp en la función y resolver . Por ejemplo , si usted está calculando el área bajo la curva y = x ^ 2 + 1 entre X = 1 y X = 10 , la altura del rectángulo en el punto X = 5 es Y = 5 ^ 2 + 1 = 26 .
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Sume las áreas de todos los rectángulos para aproximar el área bajo la curva . Cuanto más fino sea el rectángulo , más precisa será la estimación puede ser , porque las copas de los rectángulos no coinciden con la curva exactamente . Por ejemplo , si la curva disminuye constantemente durante el intervalo de destino , y la curva de intersección con el rectángulo en la esquina derecha , el rectángulo está completamente bajo la curva y la aproximación de la zona será baja . Por el contrario , las aproximaciones son a veces alto.
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Mira lo que sucede cuando la anchura de los rectángulos tiende a cero . Fermat desarrolló una expresión algebraica para la suma de las áreas de los rectángulos . Si la anchura de los rectángulos en realidad fuera cero el área bajo bajo la curva fue la suma de un número infinito de ceros - un concepto confuso en el mejor. Si nos fijamos en el límite de este proceso , sin embargo, podemos encontrar una respuesta realista. Por ejemplo , mirar a lo que ocurre con Y = ( X ^ 2 - 1) /( X - 1 ) cuando X se acerca más y más cerca de 1 En el punto en X = 1, Y no está definido , pero se puede ver , mediante la verificación unos valores cercanos a X , que a medida que se acerca X 1, Y se acerca 2.