Aproximación polinómica de Funciones

teorema de Taylor proporciona una manera de aproximar cualquier función con un polinomio . El único requisito es que usted tome las derivadas de la función y las derivadas de todos los derivados de la función. Esto le permite evaluar la función y las derivadas de la función en un punto . Notación de funciones y el teorema factoriales

de Taylor usa la notación de funciones , por lo que describen como funciones f ( X) = X ^ 2 - 3x + 2 en lugar de y = x ^ 2 - . 3X + 2 Esta notación hace que sea más fácil para describir múltiples derivados . Los factoriales se indican con el símbolo de exclamación. Un ejemplo es 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 . Otro ejemplo es 7 ! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 .

Derivados

La derivada de una función es otra función que describe cómo los cambios en la función . El valor de un derivado en un punto da la pendiente de la línea que es tangente a la curva en ese punto . La derivada de un polinomio se encuentra eliminando el término constante y haciendo esta transformación a cada término restante, por ejemplo , aX ^ n tiende a anX ^ (n - 1 ) . Por ejemplo , el derivado de X ^ 2 - 3x + 2 es 2X - . 3 Los derivados de polinomios siempre disminuyen el grado por uno así que después de unos pocos derivados se convierte en cero . Otras funciones pueden tener un número infinito de derivados. La primera derivada de f ( x) se denota f '(x ) y el derivado de la presente se denota f '' (x ) . Fórmula
de Taylor
Taylor para la aproximación polinómica de una función es f (x) = f ( X0 ) + ( f ' - ( ! ( X0 ) /2 ( X0 ) /1 ! ) f '' ) ( X X0 ) + ' ( X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' ( X0 ) /3 ! ) ( X - X0 ) ^ 3 + y así sucesivamente . Usted puede continuar la serie para tantos términos como usted necesita para obtener una buena aproximación. Si aproximar un polinomio , sólo continuará durante algunos términos antes de ir a cero. Con otras funciones que , teóricamente, puede continuar para siempre. Por lo general, sólo se necesitan unos pocos términos para obtener una muy buena aproximación .

Ejemplos

Para la aproximación polinómica de Y = sen x , tenga en cuenta que f ( X) = Sin X. f '(x ) = cos x , f '' (x ) =- sen x , y así sucesivamente. Sin (x ) = f (x ) = f ( X0 ) + ( f ' ( X0 ) /1 ! ) ( X - X0 ) + ( f '' ( X0 ) /2 ! ) ( X - X0 ) ^ 2 + ( f '' ' (X0 ) /3 !) (X - X0) ^ 3 = Sin ( 0 ) + ( Cos ( 0 ) /1 !) (X - 0 ) + ( ! - Sin ( 0 ) /2 ) (X - 0 ) ^ 2 + (- Cos ( 0 ) /3 !) (x - 0 ) + etc = 0 + (1 /1) X + 0 - X ^ 3/3 ! + 0 + X ^ 5/5 ! + 0 y así sucesivamente = X - X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + Y así sucesivamente . Esto significa que el Pecado X = X - X ^ 3/3 ! + X ^ 5/5 ! - X ^ 7/7 ! + Y así sucesivamente.