Cómo factorizar enteros Gaussianos

enteros de Gauss son números complejos representados como " a + bi" de manera que "a" y "b" ambos representan números enteros y " i" = la raíz cuadrada de -1 . Enteros de Gauss se dividen en tres grupos: el conjunto de "unidades" 1 , -1 , i y -i; los números primos enteros de Gauss , que no pueden tenerse en cuenta en otros enteros de Gauss; y los compuestos de enteros de Gauss , que son el producto de otros números enteros de Gauss. Instrucciones Matemáticas 1

Entender los roles de las unidades en el factoring primos gaussianos . Por ejemplo , 5 es de material compuesto en el sistema de enteros de Gauss porque 5 = ( 1 + 2i ) ( 1 - 2i ) , pero también es cierto que 5 = ( 2 + i ) ( 2 - i ) . Esto no es realmente dos factorizaciones diferentes debido a que los factores 1 + 2i y 1 - 2i se pueden transformar en 2 + i y 2 - i por multiplicaciones por unidades y por lo tanto se consideran la misma para los propósitos factorización . Por ejemplo, ( i) ( 1 + 2i) = i - 2 y ( -1 ) ( i - 2 ) = 2 - . I
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Encuentra la norma del entero de Gauss que deseas factor de . La norma de un número complejo a + bi es a ^ 2 + b ^ 2 . Si A = B X C, entonces la norma ( A) = Norma ( B ) X Norma ( C ) . Esto reduce la lista de posibles candidatos. Por ejemplo , la norma de 5 es 5 ^ 2 + 0 ^ 2 = 25 y el único factor de 25 es 5. Esto significa que sólo tenemos que mirar a los candidatos a + bi tal que a ^ 2 + b ^ 2 = 5 . los candidatos obvios son 1 + 2i y 1 - 2i , ambos con las normas 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = 1 + 4 = 5
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Intente cada uno de los candidatos a . ver si alguno de ellos dividen el número al que está factoring sin dejar un residuo. El cociente puede producir otro número entero de Gauss que pueden o no ser primer . Tenga en cuenta que si a + bi es un factor , no hay que considerar b + ia o b - ai ya que estos son sólo una o más de las unidades multiplicadas por a + bi. Cuando todos los factores son primos , usted tiene la factorización única .